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1. Adding diversity to mathematical connections to counter Klein’s second discontinuity

Wasserman, Nicholas.

For instructors that try to make university mathematics courses relevant to future secondary school teachers, doing so generally involves making connections between university mathematics content and school mathematics content–in attempts to counter what Felix Klein referred to as a “double discontinuity.” In this paper, I consider the nature of the mathematical connections that bridge these two domains, and common distinctions made in extant literature between them, such as directionality. Through this analysis, I point out another aspect of these connections that has been left implicit: university mathematics is primarily–and reasonably–framed as a superset of school mathematics content. In this paper I consider alternatives, in particular conceptualizing connections that invert this typical relational connection–i.e., a subset relational connection–and I exemplify these connections with concepts from university courses such as real analysis and abstract algebra. Then, I consider the rationale for doing so in terms of secondary teacher education, and the ways that diversifying our framework of connections in this way can be used to help counter Klein’s second discontinuity.

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2. Comment choisir des contenus mathématiques pertinents pour comprendre et surmonter la seconde discontinuité de Klein avec les futurs enseignants ? Le cas du produit scalaire

Grenier-Boley, Nicolas.

Les problématiques liées à la seconde discontinuité de Klein amènent nécessairement la question du choix des contenus mathématiques sur lesquels se concentrer et la manière d’envisager le recul sur l’enseignement de ces contenus dans l’enseignement secondaire. Dans cet article, nous proposons d’explorer cette problématique dans le cadre du système éducatif français pour le cas du produit scalaire. Nous nous appuyons sur des exemplesqui nous semblent mettre en évidence certains enjeux importants liés à cette seconde discontinuité, que ce soit pour les chercheurs, les futurs enseignants ou les étudiants.

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3. La double discontinuité de Klein : de perspectives globales à perspectives locales

Winsløw, Carl ; Huo, Rongrong.

La question globale d’identifier, développer et évaluer les connaissances mathématiques qui sont pertinentes pour les futurs enseignants du secondaire, a été depuis les débuts un levier central dans l’émergence de recherches en didactique des mathématiques. Nous exposons des éléments historiques de cette question du point de vue de la théorie anthropologique du didactique, et en particulier la notion de rapport aux praxéologies mathématiques entretenu par certaines positions au sein des institutions scolaires et universitaires. Nous examinons aussi un cas moderne où ces questions apparaissent d’une manière plus pratique : comment combler le fossé entre une licence générale en mathématiques et des conceptions des nombres réels et des fonctions d’une variable réelle qui sera pertinente pour l’enseignement secondaire ? Nous montrons comment les aspects théoriques et pratiques de cette question plus locale apparaissent dans un cours de synthèse pour des futurs enseignants, qui ont passé deux ans de cours mathématiques universitaires.

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