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Des mathématiques universitaires à l'enseignement des mathématiques
Rédacteurs : Rolf Biehler ; Viviane Durand-Guerrier ; Nicolas Grenier-Boley ; Cécile Ouvrier-Buffet
La double discontinuité de Klein : de perspectives globales à perspectives locales
La question globale d’identifier, développer et évaluer les connaissances mathématiques qui sont pertinentes pour les futurs enseignants du secondaire, a été depuis les débuts un levier central dans l’émergence de recherches en didactique des mathématiques. Nous exposons des éléments historiques de cette question du point de vue de la théorie anthropologique du didactique, et en particulier la notion de rapport aux praxéologies mathématiques entretenu par certaines positions au sein des institutions scolaires et universitaires. Nous examinons aussi un cas moderne où ces questions apparaissent d’une manière plus pratique : comment combler le fossé entre une licence générale en mathématiques et des conceptions des nombres réels et des fonctions d’une variable réelle qui sera pertinente pour l’enseignement secondaire ? Nous montrons comment les aspects théoriques et pratiques de cette question plus locale apparaissent dans un cours de synthèse pour des futurs enseignants, qui ont passé deux ans de cours mathématiques universitaires.
Pre-service teachers' classroom stagings of proving-related activities and possible effects of Klein's discontinuity
Proof is a core element of mathematics. It therefore plays an essential role in university mathematics studies and thus also in the training of pre-service mathematics teachers. However, it has been shown that in-service teachers face problems in adequately implementing proof in their teaching. We consider this break between university studies and professional practice as part of what Klein called the "second discontinuity". Employing an activity-theoretical framework, we investigate in this paper the question how lesson stagings of preservice teachers at the end of their study program indicate systematic difficulties in staging proving-related activity for the classroom and how discontinuity experiences triggered by differences between proving-related practices in school and university could be considered as a possible cause for that. We present results from an observational study with pre-service teachers that reveal specific patterns in their proof-related behavior when planning and delivering lessons, and relate these back to sources for possible discontinuity experiences of pre-service teachers. As a practical implication, our results provide indications of how the topic of proof could be targeted in mathematics didactic teacher education.
La création de scénario comme catalyseur pour lier les mathématiques du premier cycle et les mathématiques scolaires
Résumé – La créations de scénario est un outil puissant à la fois pour les chercheurs en éducation mathématique et pour les formateurs d’enseignants, en partie parce que les dialogues qui en résultent donnent un aperçu de la compréhension mathématique et des inclinations pédagogiques des scénaristes. Dans cet article, nous soutenons que l’utilisation de scénarios dans l’enseignement des mathématiques offre également la possibilité de proposer des leçons de suivi reliant les mathématiques du premier cycle et celles de l’école secondaire. Ces leçons facilitent les liens mathématiques en s’appuyant directement sur les expériences des scénaristes, telles qu’elles sont capturées dans leurs dialogues, et enrichissent ainsi leur pratique pédagogique.
La symétrie comme sujet pour les enseignants en formation à l'université
Cet article fournit une analyse mathématique-didactique complète de la façon dont le sujet très pertinent de la symétrie peut être préparé pour l'enseignement universitaire des PST. D'un point de vue méthodologique, l'analyse s'inscrit dans un cycle de recherche sur la conception et sert de préparation à la conception réelle d'activités d'apprentissage. La procédure de "spécification et de structuration" des objets d'apprentissage est utilisée et adaptée de telle sorte que, outre les aspects mathématiques, les références aux mathématiques scolaires orientées vers la profession sont également prises en compte. Un résultat essentiel de l'analyse est la formulation de ce que l'on appelle les aspects d'interface de la symétrie, qui s'avèrent utiles pour établir de telles références.
Developing Kleinian Praxeologies: The Case of the Integral
In this paper, we pursue Winsløw's modelling of Klein's second discontinuity, within the Anthropological Theory of the Didactic (ATD), by introducing the notion of Kleinian praxeologies. These new praxeologies are built from praxeological blocks from existing praxeologies, from upper high school and university, to underline their links in mathematics teacher training. Then we present the results of an experiment, conducted according to the methodology of Didactic Engineering, which aims at the development of Kleinian praxeologies by teacher students. Our case study focuses on the integral of upper high school, in its links with Measure Theory taught at the university, in France. These links are described in terms of dominant praxeological models, enriched by Kleinian praxeologies. The data are analyzed using the different tools of the "questioning the world paradigm", in ATD (the questions-answers map and the Herbartian schema, for the study of chronogenesis and mesogenesis, respectively). The methodology allows a fine-grain analysis of the students' work and opens many perspectives for didactic research on Klein's second discontinuity, whether for the study of students' difficulties in linking elementary and advanced knowledge or for didactic engineering that aims to strengthen these links.
Comment choisir des contenus mathématiques pertinents pour comprendre et surmonter la seconde discontinuité de Klein avec les futurs enseignants ? Le cas du produit scalaire
Les problématiques liées à la seconde discontinuité de Klein amènent nécessairement la question du choix des contenus mathématiques sur lesquels se concentrer et la manière d’envisager le recul sur l’enseignement de ces contenus dans l’enseignement secondaire. Dans cet article, nous proposons d’explorer cette problématique dans le cadre du système éducatif français pour le cas du produit scalaire. Nous nous appuyons sur des exemplesqui nous semblent mettre en évidence certains enjeux importants liés à cette seconde discontinuité, que ce soit pour les chercheurs, les futurs enseignants ou les étudiants.
Adding diversity to mathematical connections to counter Klein’s second discontinuity
For instructors that try to make university mathematics courses relevant to future secondary school teachers, doing so generally involves making connections between university mathematics content and school mathematics content–in attempts to counter what Felix Klein referred to as a “double discontinuity.” In this paper, I consider the nature of the mathematical connections that bridge these two domains, and common distinctions made in extant literature between them, such as directionality. Through this analysis, I point out another aspect of these connections that has been left implicit: university mathematics is primarily–and reasonably–framed as a superset of school mathematics content. In this paper I consider alternatives, in particular conceptualizing connections that invert this typical relational connection–i.e., a subset relational connection–and I exemplify these connections with concepts from university courses such as real analysis and abstract algebra. Then, I consider the rationale for doing so in terms of secondary teacher education, and the ways that diversifying our framework of connections in this way can be used to help counter Klein’s second discontinuity.